2.2 – Videnskabelig notation

I kemi, bruges der tal der er meget store eller meget små. Vi måler måske noget der er så småt, som tykkelsen af et menneskehår, som er omkring 0,000 008 m. Eller vi vil måske tælle det gennemsnitlige antal hår på hovedet af mennesker, som er omkring 100 000 hår (se figur 2.5). Her har vi gjort det nemmere at placere pladsværdierne, fordi vi har arrangeret tallene i grupper af tre. Imidlertid vil du opleve, at det er mere bekvemt at skrive store eller små tal, som videnskabelig notation.

Ting Standardtal Videnskabelig notation
Bredden af et menneskehår 0,000 008 m 8 · 10-6 m
Antal hår på hovedet 100 000 hår 1 · 105 hår
Figur 2.5 – Mennesket har gennemsnitligt 1 ∙ 105 hår på hovedet. Hvert hår, er omkring 8 ∙ 10-6 m bredt.

Skrive et tal med videnskabelig notation

Et tal skrevet med videnskabelig notation, består af tre dele: en koefficient, en potens af 10, og en måleenhed. For eksempel, skrives 2.400 meter i videnskabelig notation som 2,4 ∙ 103 m. Koefficienten er 2,4, og værdien 103 viser at potensen af 10 er 3, mens enheden er meter (m). Koefficienten blev fundet ved at flytte decimaltegnet mod venstre, til en værdi er er mindst 1 men mindre end 10. Fordi vi flyttede decimaltegnet tre pladser mod venstre, er potensen af 10 plus 3., der skrives som 103. Når et tal der er større end 1, konverteres til videnskabelig notation, er potensen af 10 positiv.

Når et tal mindre end 1 skrives i videnskabelig notation, er potensen af 10 et negativt tal. For eksempel, tallet 0,00086 g, skrives i videnskabelig notation, ved at rykke decimaltegnet for at give koefficienten 8,6. Fordi decimaltegnet blev rykket fire pladser til højre, bliver potensen af 10 i minus 4., og skrives 10-4.

Tabel 2.2, giver nogle eksempler på tal skrevet som positive eller negative potenser af 10. Potenser af 10, er en måde at holde styr på decimaltegnet på. Tabel 2.3 giver flere eksempler på målinger i potenser af 10.

Videnskabelig notation og regnemaskiner

Du kan skrive et tal i videnskabelig notation på mange regnemaskiner, ved at bruge EE tasten, eller EXP tasten. Efter du har indtastet koefficienten, tryk på EXP (eller EE) tasten, og skriv potensen (eksponenten), da funktionen EXP (eller EE) allerede inkludere ∙ 10 værdien. For at tasten en negativ potens, trykker du på plus/minus (+/-) tasten, eller på minus tasten, afhængig af hvilken regnemaskine du bruger. Som du arbejder med disse funktioner, så læs instruktionsmanualen til din bestemte lommeregner, for at finde den korrekte anvendelse af tasterne. Nogle regnemaskiner har kun en xy tast, og her er der ikke taget højde for ∙ 10 værdien, så her skal du selv huske at skrive 10 ∙ før eksponenten. Her kan du se et par eksempler på hvordan forskellige tal i videnskabelig notation skrives på regnemaskiner:

Når en regnemaskines display vises i videnskabelig notation, vises det som et tal der er større end 1 men mindre end 10, efterfulgt af et mellemrum (eller et E) og så eksponenten som positiv eller negativ. For at skrive dette tal, skriv først koefficienten, så ∙ 10 og til sidst eksponenten som potensen af 10:

Opgaveeksempel 2.1

Videnskabelig notation

Skriv hvert af følgende tal, som videnskabelig notation:

a. 3500 g     b. 0,000016 L

Løsning

a. 3500 g

Trin 1:
Flyt decimaltegnet for at opnå en koefficeint der er mindst 1, men mindre end 10. For et tal større end en, flyttes decimaltegnet tre pladser til venstre, for at give koefficeienten 3,5.

Trin 2:
Udtryk antallet af pladser decimaltegnet er blevet flyttet, som en potens af 10. Da decimaltegnet blev flyttet mod venstre, er potensen af 10 positiv. Flytning af decimaltegnet tre pladser mod venstre, giver en eksponent på 3, skrevet som 103.

Trin 3:
Skriv produktet af koefficienten ganget med potensen af 10 med enheden.

3,5\cdot 10^{3}\; \textup{g}

b. 0,000016 L

Trin 1:
Flyt decimaltegnet for at opnå en koefficeint der er mindst 1, men mindre end 10. For et tal mindre end en, flyttes decimaltegnet fem pladser til højre, for at give koefficeienten 1,6.

Trin 2:
Udtryk antallet af pladser decimaltegnet er blevet flyttet, som en potens af 10. Da decimaltegnet blev flyttet mod højre, er potensen af 10 negativ. Flytning af decimaltegnet tre pladser mod venstre, giver en eksponent på minus 5, skrevet som 10-5.

Trin 3:
Skriv produktet af koefficienten ganget med potensen af 10 med enheden.

1,6\cdot 10^{-5}\; \textup{L}

Læringscheck 2.1

Skriv hver af følgende i videnskabelig notation:

a. 425000 m
b. 0,0000008 g

Svar

a. 4,25\cdot 10^{5}\; \textup{m}     b. 8\cdot 10^{-7}\; \textup{g}

Konvertering af videnskabelig notation til standardtal

Når et tal der er skrevet i videnskabelig notation har en positiv potens af 10, fås standardtallet ved at flytte decimaltegnet mod højre det samme antal pladser, som potensen af 10. Pladsholdernuller bruges som de behøves, for at give de ekstra pladser der behøves:

For et tal med en negativ potens af 10, fås standardtallet ved at flytte decimaltegnet mod venstre det samme antal pladser, som potensen af 10. Pladsholdernuller bruges som de behøves, for at give de ekstra pladser der behøves:

Opgaveeksempel 2.2

Skriv videnskabelig notation som standardtal

Skriv hvert af disse som et standardtal:

a. 7,2\cdot 10^{-3}\; \textup{m}     b. 2,4\cdot 10^{3}\; \textup{g}

Løsning

a. For at skrive standardtallet for et tal i videnskabelig notation med en negativ poens af 10, flyt decimaltegnet til venstre (foran 7,2) det samme antal pladser (tre) som potensen af 10. Tilføj pladsholder nuller før koefficienten som de behøves.

7,2\cdot 10^{-3}\; \textup{m}=\overleftarrow{0007,2}\; \textup{m}=0,0072\; \textup{m}

b. For at skrive standardtallet for et tal i videnskabelig notation med en positiv potens af 10, flyt decimaltallet til højre (efter 2,4) det samme antal pladser (fem) som potensen af 10. Tilføj pladsholder nuller bag koefficienten som de behøves.

2,4\cdot 10^{5}\; \textup{g}=\overrightarrow{2,40000}\; \textup{g}=240.000\; \textup{g}

Læringscheck 2.2

Skriv 7,25\cdot 10^{-4}\; \textup{s} som et standardtal.

Løsning

0,000725\; \textup{s}

Målte tal og signifikante cifre

Når du laver en måling, bruger du en form for måleinstrument. For eksempel, kan du bruge en målestok, for at måle din højde, en badevægt for at måle din vægt, eller et termometer for at måle din temperatur.

Målte tal

Figur 2.6 – Længderne på det rektangulære objekt måles til (a) 4,5 cm, (b) 4,55 cm og (c) 3,0 cm.

Målte tal er tal som du opnår, når du måler en mængde ved at bruge et måleinstrument. Lad os antage, at du skal måle længden af objekterne i figur 2.6. Du kan vælge en lineal der har markeringer ved 1 cm mærkerne, eller en der har markeringer ved 0,1 cm mærkerne. For at opgive længden af et objekt, observerer du de numeriske værdier for de markerede linjer, ved enden af dit objekt. Endelig estimerer du, ved visuelt at dele mellemrummet mellem de mindste markeringslinjer. Dette estimerede tal, er det sidste ciffer der oplyses for en målt værdi.

For eksempel i figur 2.6a, er enden af objektet mellem 4 og 5 cm markeringen. Derfor ved du, at objektet er længere end 4 cm, men kortere end 5 cm. Du kunne nu estimere, at enden af objektet er halvvejs mellem 4 cm og 5 cm markeringen, og oplyse objektets længde som 4,5 cm. Imidlertid ville en anden måske estimere længden af objektet til 4,4 cm, fordi personer ikke estimerer på samme måde. Derfor er der altid noget usikkerhed omkring det estimerede tal i hver måling.

Linealen i figur 2.6b, har markeringer for hver 0,1 cm. Med denne lineal, kan du nu estimere værdien på hundrededelens plads (0,01 cm). Du kan nu estimere at objektet er mellem 4,5 cm og 4,6 cm. Måske oplyser du længden af objektet til at være 4,55 cm, mens en anden person oplyser længden som 4,56 cm. Begge resultater er acceptable.

I figur 2.6c, ser objektets ende ud til at være på linje med 3 cm markeringen. Fordi inddelingen er opdelt i 1 cm markeringer, er det estimerede ciffer på tiendedelspladsen (0,1 cm) 0. Længden oplyses som 3,0 cm, ikke 3 cm. Dette betyder, at usikkerheden af målingen (det sidste ciffer) er på tiendedelspladsen (0,1 cm). Der er altid en usikkerhed i enhver måling.

 

Signigikante cifre

I et målt tal, er de signifikante cifre (også kaldet for betydende cifre) alle cifre, inklusiv det estimerede ciffer. Alle tal forskellige fra nul, regnes som signifikante cifre. Imidlertid, kan et nul både være signifikant og ikke-signifikant, afhængig af dets placering i tallet. Tabel 2.4 opstiller regler og eksempler for antal signifikante cifre.

Videnskabelig notation og signifikante nuller

Når et eller flere nuller i et stort tal er signifikante, vises de tydeligt ved at skrive tallet i videnskabelig notation. For eksempel, hvis det første nul i målingen 500 m er signifikant, men det andet nul ikke er det, skrives målingen som 5,0 ∙ 102 m. I denne tekst, vil vi placere et decimaltegn efter et signifikant nul i enden af tallet. For eksempel, hvis en måling er skrevet som 500, g, indikerer decimaltegnet skrevet efter det andet nul, at begge nuller er signifikante. For at vise det tydeligere, kan vi skrive det som 5,00 ∙ 102 g. Vi vil antage, at nuller i enden af et stort tal uden et decimaltegn, ikke er signifikante. Derfor skriver vi 400.000 g som 4 ∙ 105 g, hvilket kun har et signifikant ciffer.

Konceptforståelse 2.2

Signifikante nuller

Angiv nullerne som signifikante eller ikke-signifikante i de følgende målte tal:

a. 0,000250 m     b. 70,040 g     c. 1.020.000 L

Svar

a. Nullerne der kommer før det første tal der er forskelligt fra mil, er ikke-signifikante. Nullet på den sidste plads efter decimaltegnet og efter 5-tallet, er signifikant.

b. Nuller mellem tal der er forskellige fra nul, og nuller i enden af decimaltal, er signifikante. Alle nullerne i 70,040 g er signifikante.

c. Nuller mellem tal der er forskellig fra nul, er signifikante. Nuller i enden af et stort tal uden et decimaltegn, er pladsholdere og er ikke signifikante. Nullet melle 1 og 5 er signifikant, men de fire nuller der følger efter 2-tallet, er ikke signifikante.

Eksakte tal

Eksakte tal er de tal som opnås ved tælling eller ved at anvende en definition som sammenligner to enheder i det samme målesystem. Lad os antage, at en ven spørger dig, hvor mange fag du tager dette semester. Du ville svare på dette spørgsmål, ved at tælle det antal fag du har. Det er ikke nødvendigt for dig, at bruge nogen form for måleinstrument. Lad os også antage, at du bliver bedt om at fortælle, hvor mange sekunder der er på 1 minut. Uden brug af et måleinstrument, ville du oplyse definitionen: 60 sekunder er 1 minut. Eksakte tal måles ikke, har ikke noget begrænset antal signifikante cifre, og påvirker ikke antallet af signifikante cifre i beregnede resultater (se tabel 2.5).

Konceptforståelse 2.3

Signifikante cifre

Angiv hvert af følgende tal som målt, eller eksakt værdi, og angiv antallet af betydende cifre:

a. 42,2 g     b. 3 æg     c. 5,0 · 10-3 cm     d. 1 kg = 1.000 g

Svar

a. Massen på 42,2 g er et målt tal, fordi den er opnået med et måleinstrument. Der er tre signifikante cifre, fordi tal der er forskellige fra nul, altid er signifikante.

b. Værdien 3 æg er et eksakt tal, fordi det er opnået ved tælling frem for at bruge et måleinstrument.

c. Længden på 5,0 · 10-3 cm er en målt værdi, fordi den er opnået med et måleinstrument. Der er to signifikante cifre i 5,0 · 10-3 cm, fordi alle tal i koefficienten af et tal skrevet i videnskabelig notation, er signifikante.

d. Masserne 1 kg og 1.000 g, er begge eksakte tal, fordi forholdet 1 kg = 1.000 g er en definition, i det metriske system af måleenheder.

2.3 – Signifikante cifre i beregninger →