1.3 – Lær kemi – Matematiske nøglefærdigheder

Gennem dit kemistudie, vil du komme til at arbejde med mange problemer og opgaver, der involverer tal. Du har behov for at have forskellige matematiske færdigheder og forskellige matematiske operationer. Vi vil her se på nogle af de matematiske nøglefærdigheder, der er særligt vigtige i kemi. Som vi bevæger os gennem de forskellige kapitler, vil vi også forklare de matematiske nøglefærdigheder som de optræder.

Identificering af pladsværdier

For ethvert tal, kan vi identificere pladsværdien for hvert af cifrene i det pågældende tal. Disse pladsværdier har navne som ”enere” (første plads til venstre for decimaltegnet), eller tiere (anden plads til venstre for decimaltegnet). Lad os først se på pladsværdierne for et tal uden decimaltegn:

2518

Ciffer	2	5	1	8
Pladsværdi	tusinder	hundreder	tiere	enere

Lad os nu se på et tal der indeholder et decimaltegn. Vi identificerer pladsværdierne som tiendedele (første plads til højre for decimaltegnet) og hundrededele (anden plads til højre for decimaltegnet):

6,407

Ciffer	6	4	0	7
Pladsværdi	enere	tiendedele	hundrededele	tusindedele

Bemærk, at pladsværdier der ender på -dele henviser til decimalpladserne til højre for decimaltegnet.

Konceptforståelse 1.3

Pladsværdier

Identificer pladsværdien for hvert ciffer i tallet 825,10

Ciffer	8	2	5	1	0
Pladsværdi

Svar

Ciffer	8	2	5	1	0
Pladsværdi	hundrede	tiere	enere	tiendedele	hundrededele

Brug af positive og negative tal i beregninger

Et positivt tal er et hvert tal der er større end nul og det skrives med et plustegn (+). Ofte er plustegnet underforstået og bliver ikke skrevet foran tallet. For eksempel kan tallet +8 også skrives som 8. Et negativt tal er et hvert tal der er mindre end nul og det skrives med et minustegn (–). For eksempel, minus otte skrives som -8.

Multiplikation og division af positive og negative tal

Når to positive tal, eller to negative tal ganges med hinanden, er resultatet altid positivt (+):

$2\, \cdot \, 3\, =\, +6$
$(-2)\, \cdot \, (-3)\, = \ +6$

Når et positivt tal og et negativt tal ganges med hinanden, er resultatet altid negativt (–):

$2\, \cdot \, (-3)\, =\, -6$
$(-2)\, \cdot \, 3\, =\, -6$

Reglerne for division af to positive tal og to negative tal, er de samme som reglerne med at gange. Når to positive tal eller to negative tal divideres med hinanden, er resultatet altid positivt (+):

$\frac{6}{3}\, =\, 2\; \; \; \; \frac{-6}{-3}\, =\, 2$

Når et positivt tal og et negativ tal divideres med hinanden, er resultatet altid negativt (–):

$\frac{-6}{3}\, =\, 2\; \; \; \; \frac{6}{-2}\, =\, -2$

Addition af positive og negative tal

Når positive tal lægges sammen, er resultatet altid positivt (+):

$3\, +\, 7\, = 7\; \; \; \textup{tegnet\, (+)\, er\, underforst\aa et}$

Når negative tal lægges sammen, er resultatet altid negativt (–):

$(-3)\, +\, (-7)\, =\, -10$

Når positive og negative tal lægges sammen, trækkes det mindste tal fra det største. Resultatet har så samme fortegn som det største tal:

$12\, +\; (-15)\, =\, -3\; \; \; \; (-12)\, +\, 15\, =\, 3$

Subtraktion af positive og negative tal

Når to tal trækkes fra hinanden, skift fortegn på det tal der skal trækkes fra:

$12\, -\, (+5)\, =\, 12\, -\, 5\, =\, 7$
$12\, -\, (-5)\, =\, 12\, +\, 5\, =\, 17$
$-12\, -\, (-5)\, =\, -12\, +\, 5\, =\, -7$
$-12\, -\, (+5)\, =\, -12\, -\, 5\, =\, -17$

Beregning af en procent

For at bestemme en procent, divideres andelen med totalen og ganges med 100%. For eksempel, hvis 8 kemibøger står på en hylde med i alt 32 bøger, hvor mange procent af bøgerne er så kemibøger?

$\frac{\textup{8\, kemib\o ger}}{\textup{32\, b\o ger\, i\, alt}}\, \cdot \, 100%\, =\, 25%\, \textup{kemib\o ger}$

Når en værdi er beskrevet som en procent (%), repræsenterer det tal, andele af 100 af de ting. Hvis procenten af røde bolde er 5%, betyder de, at der er 5 røde bolde hvor hver 100 bolde. Hvis procenten af blå bolde er 50%, er der 50 blå bolde for hver 100 bolde.

$5%\, \textup{r\o de\, bolde}\, =\, \frac{\textup{5\, r\o de\, bolde}}{\textup{100\, bolde}}\; \; \; \; 50%\, \textup{bl\aa\, bolde}\, =\, \frac{\textup{50\, bl\aa \, bolde}}{\textup{100\, bolde}}$

Konceptforståelse 1.4

Procenter

Hvis du spiser 3 stykker (andele) af en pizza der har 6 stykker (total), hvor stor en procent af pizzaen har du så spist?

Svar

Vi kan beregne procenten som:

$\frac{\textup{3\, stykker\, pizza}}{\textup{6\, stykker\, pizza}}\, \cdot \, 100%\, =\, 50%$

Hvis du spiser 3 stykker (andele) af en pizza der med 6 stykker (total), har du spist 50% af pizzaen.

Procenter som decimaler

Hvis du får oplyst en procent som for eksempel 25%, kan den konverteres til decimaler

1. Skriv procentværdien over 100: $\frac{25}{100}$

2. Udtryk brøken som et decimaltal: $0,25$

Løsning af ligninger

I kemi, anvendes ligninger der udtrykker forholdet mellem bestemte variable. Lad os se på hvordan vi finder x for følgende ligning:

$2x\, +\, 8\, =\, 14$

Det overordnede mål er, at omarrangere ligningen, således at vi opnår kun at have x’et på den ene side af ligningen.

1. Placer alle lignende udtryk på den ene side. Tallene 8 og 14, er lignende udtryk. For at fjerne 8 fra den venstre side af ligningen, trækker vi 8 fra. For at opretholde balancen, skal vi også trække 8 fra på den højre side af ligningen:

$2x\, +\, {\color{Red} 8}\, -\, {\color{Red} 8}\, =\, 14\, -\, 8$
$2x\, =\, 6$

2. Isoler den variabel du ønsker at finde. I denne ligning, får vi x ved at dividere begge sider af ligningen med 2. Værdien af x, er resultatet når 6 divideres med 2:

$\frac{{\color{Red} 2}x}{{\color{Red} 2}}\, =\, \frac{6}{2}$
$x\, =\, 3$

3. Check resultatet. Check resultatet ved at erstatte x med den fundne værdi i den oprindelige ligning.

$2\, \cdot \, (3) + 8 = 6 + 8 = 14\, \, \, \, \, \, \, \, \, \textup{Din l\o sning}\, \, x = 3\, \, \textup{er korrekt}$

Resumé: For at løse en ligning for en bestemt variabel, vær sikker på at du udfører samme matematiske operationer på begge sider af ligningen.

Hvis du fjerner et symbol eller et tal ved at trække det fra, skal du fratrække det samme symbol eller tal på modsatte side af ligningen.

Hvis du fjerner et symbol eller tal ved at lægge det til, skal du lægge det samme symbol eller tal til på modsatte side af ligningen.

Hvis du kan fjerne et symbol eller tal ved division, skal du dividere med det samme symbol eller tal på den anden side af ligningen.

Hvis du fjerner et symbol eller tal ved at gange med det, skal du gange med det samme symbol eller tal på den anden side af ligningen.

Når der arbejdes med temperaturer, kan det være nødvendigt at konvertere mellem grader Celsius og grader Fahrenheit, ved at bruge følgende ligning:

$\textup{T}_{F}=1,8\, \textup{T}_{C}+32$

For at få ligningen til konvertering af grader Fahrenheit til grader Celsius, trækker vi 32 fra på begge sider:

$\textup{T}_{F}=1,8\, \textup{T}_{C}+32$
$\textup{T}_{F}-32=1,8\, \textup{T}_{C}+{\color{Red} 32}-{\color{Red} 32}$
$\textup{T}_{F}-32=1,8\, \textup{T}_{C}$

For at få T_C for sig selv, dividerer vi begge sider med 1,8:

$\frac{\textup{T}_{F}-32}{1,8}=\frac{{\color{Red} 1,8}\, \textup{T}_{C}}{{\color{Red} 1,8}}\, \Rightarrow \frac{\textup{T}_{F}-32}{1,8}=\textup{T}_{C}$

Konceptforståelse 1.5

Løsning af ligninger

Løs hver af følgende ligninger for den angivne variabel:

a. $P_{1}\, \cdot \, V_{1}=P_{2}\, \cdot \, V_{2}\, \, \, \, \, \, \, \, \textup{find}\, \, V_{2}$

b. $q=m\cdot \Delta T\cdot SH\; \; \; \; \textup{find}\; m$

Svar

a. $P_{1}\, \cdot \, V_{1}=P_{2}\, \cdot \, V_{2}\, \, \, \, \, \, \, \, \textup{find}\, \, V_{2}$

For at finde $V_{2}$ , dividerer vi med symbolet $P_{2}$ på begge sider:

$\frac{P_{1}\cdot V_{1}}{P_{2}}=\frac{{\color{Red} P_{2}}\cdot V_{2}}{{\color{Red} P_{2}}}\; \Rightarrow \; V_{2}=\frac{P_{1}\cdot V_{1}}{P_{2}}$

b. $q=m\cdot \Delta T\cdot SH$

For at finde $m$ , dividerer vi med symbolerne $\Delta T$ og $SH$ på begge sider:

$\frac{q}{\Delta T \cdot SH}=\frac{m\cdot {\color{Red} \Delta T}\cdot {\color{Red} SH}}{{\color{Red} \Delta T}\cdot {\color{Red} SH}}\; \Rightarrow \; m=\frac{q}{\Delta T\cdot SH}$

Fortolkning af lineær graf

En lineær graf, repræsenterer forholdet mellem to variable. Disse variable aftegnes langs to retvinklede akser, som er x aksen (horisontal) og y aksen (vertikal).

Eksempel:

I følgende graf, er volumen af en ballon aftegnet mod temperaturen:

Titel:
Se på titlen. Hvad fortæller den os om grafen? Titlen indikerer, at volumen af en ballon, blev målt ved forskellige temperaturer.

Vertikal akse:
Så på etiketten og tallene på den vertikale (y) akse. Etiketten indikerer at volumen af ballonen blev målt i liter. Tallene, der er valgt så de inkluderer den højeste og laveste målte værdi, er jævnt fordelt fra 22,0 L til 33,0 L.

Horisontal akse:
Etiketten på den horisontale (x) akse, indikerer at temperaturen på ballonen, blev målt i grader Celsius (ºC). Tallene er målinger af Celsius temperaturen, der er jævnt fordelt fra 0 ºC til 100 ºC.

Punkter på grafen:
Hvert punkt på grafen, repræsenterer en volumen i liter, der blev målt ved en bestemt temperatur. Når disse punkter forbindes, opnås en ret linje.

Fortolkning af grafen:
Fra den lineære graf, kan vi se at volumen af gassen øges, som temperaturen af gassen øges. Dette kaldes for et direkte forhold. Nu kan vi bruge grafen til at bestemme volumen ved forskellige temperaturer. For eksempel, hvis vi vil vide hvor stor volumen af gassen er ved 50 ºC. For at finde ud af det, ville vi starte med at finde 50 ºC på x aksen, og derefter tegne en streg op til grafens linje. Derfra, tegner vi så en horisontal streg, som skærer y aksen, og kan så aflæse volumen, der hvor stregen krydser y aksen.

Konceptforståelse 1.6

Fortolkning af lineær graf

På denne lineære graf, er afstanden tilbagelagt af en cykelrytter, målt over 10 timer.

a. Hvad måles der på den vertikale akse?
b. Hvad er området for værdierne på den vertikale akse?
c. Hvad måles der på den horisontale akse?
d. Hvad er området for værdierne på den horisontale akse?
e. Stiger eller falder afstanden med stigning af tiden?
f. Hvilken afstand i kilometer, havde cykelrytteren tilbagelagt efter 6 timer?
g. Hvor mange timer behøvede cykelrytteren, for at tilbagelægge en afstand på 15 km?

Svar

a. Afstand i kilometer	b. 0 km til 50 km
c. Tid, i timer	d. 0 timer til 10 timer
e. Stiger	f. 30 km
g. 3 timer

← Forsiden

2. Målinger →